數(shù)學(xué)二次根式教案。
通常情況下，老師在給學(xué)生上課前會提前準(zhǔn)備好教案和課件，如果還沒有準(zhǔn)備好的話就需要引起注意了。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕贪甘潜ＷC教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)。關(guān)于您所需要的“數(shù)學(xué)二次根式教案”，我們已經(jīng)為您準(zhǔn)備妥當(dāng)，我們將繼續(xù)努力優(yōu)化和提升，希望您能多多瀏覽我們的網(wǎng)站！
1、我們學(xué)校的校醫(yī)非常關(guān)心我們同學(xué)的身體健康，經(jīng)常要了解我們同學(xué)的體重，身高等，（出示座位圖）
如果老師想要了解三（5）班第一組6位同學(xué)的身高的情況，你有什么辦法能讓老師一眼就看明白？
3、出示幾個空白的條形統(tǒng)計圖，讓學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計表嘗試完成條形統(tǒng)計圖。
4、如果用條形統(tǒng)計圖表示這個小組學(xué)生的身高，每格表示多少個單位比較合適？
5、出示教材上的統(tǒng)計圖，讓學(xué)生觀察，討論。
你能說說破這個統(tǒng)計圖跟我們以前學(xué)過的.統(tǒng)計圖有什么不同嗎？
用折線表示的起始格代表多少個單位？其他格代表多少個單位？這樣畫有什么好處？
6、小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生匯報。
在統(tǒng)計圖的縱軸上，起始格和其他格表示的單位量是不同的（第一個圖中起始格表示137厘米，其他每格表示1厘米。）
7、讓學(xué)生按照例子把其他兩個同學(xué)的條形補(bǔ)充完整。
8、學(xué)生討論：什么情形下應(yīng)該使用這樣的統(tǒng)計圖？這種統(tǒng)計圖的優(yōu)點是什么？
9、觀察體重統(tǒng)計圖，看看這個圖中的起始格表示多少個單位？其他每格表示多少個單位？
9、這個統(tǒng)計圖跟我們剛才學(xué)習(xí)的學(xué)生身高統(tǒng)計圖有什么不同？
10、獨(dú)立完成書上的統(tǒng)計圖。小組進(jìn)行學(xué)習(xí)小結(jié)。
11、通過完成這一份統(tǒng)計圖。你得到了哪些信息？進(jìn)一步體會統(tǒng)計的作用。
12、你想對這些同學(xué)說些什么？
出示“中國10歲兒童身高、體重的正常值”，引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)生的身高、體重與正常值進(jìn)行對比，找出哪些學(xué)生的身高在正常值以下，哪些學(xué)生的體重超出了正常值，并提出合理化建議。
（實踐作業(yè)）讓學(xué)生從報紙、書籍上找到更多形式的統(tǒng)計圖表，并找出相應(yīng)的信息，可以培養(yǎng)學(xué)生從各種渠道收集信息的能力。
全課小結(jié)。
教學(xué)反思：
說明：在計算過程中要注意各個式子的特點，能否約分或消項（第2小題）達(dá)到化簡的目的，又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項的位置，如 ，結(jié)果為－1，繼續(xù)運(yùn)算易出現(xiàn)符號上的差錯，而把 先變?yōu)?，這樣 則為1，繼續(xù)運(yùn)算可避免錯誤．
解得 ．
．
∴ 是原方程組的解．
例3? 已知 ， ，求 的值．
∴ ．
例4? 已知 ， ，求 的.值．
1．教材中P206中8．
3．已知 ， ，求 的值．
∴
．
5．已知 ，求 的值．
解 5． ．
．
6．不求方根的值比較 與 的大?。?/strong>
解 6．∵
根據(jù)已知條件，求一個代數(shù)的值，要注意條件或代數(shù)式的化簡，有時條件和要求的代數(shù)式都需要化簡，當(dāng)把條件化簡后，代數(shù)式的化簡要朝著條件化簡的結(jié)果去化簡．
教材中P207B組1、3和補(bǔ)充作業(yè)．
1．例題…… 3．例題……
1．方法? （1）應(yīng)用二次根式乘法、除法和加減法運(yùn)算法則．
（2）在實數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算律仍適用．
（3）二次根式的乘法，與多項式的乘法相類似，遇運(yùn)用多項式乘法公式時，也可以運(yùn)用乘法公式．
2．順序?? 先乘方、后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的數(shù)．
二次根式這節(jié)課的重點是了解二次根式的定義，會判斷一個根式是不是二次根式，難點是二次根式成立的條件，和利用進(jìn)行計算。
通過課前備學(xué)生，我了解到，學(xué)生接受起來并不是太順利，所以，這一節(jié)課我進(jìn)行了兩塊的內(nèi)容，一是二次根式的定義，理解它并會用定義進(jìn)行判斷；二是二次根式成立的`條件，讓學(xué)生掌握如何使二次根式有意義并會正確書寫步驟。
接下來重點進(jìn)行了確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍這一知識點。
這里面要掌握一點，那就是若一個式子是二次根式，則它的被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，利用這一條件能確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍。
特別的，含有分母的二次根式取值時易忽略分母不能為零這一條件。
由于取值范圍的確定與不等式（組）有關(guān)，所以，在學(xué)習(xí)之前又進(jìn)行了不等式的性質(zhì)及解法進(jìn)行了復(fù)習(xí)，因為前幾天讓學(xué)生復(fù)習(xí)過，且一直在溫習(xí)，所以這一點學(xué)習(xí)并沒有感覺到困難。
一、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)提問
1．什么叫二次根式？
2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：
（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實數(shù)．
（二）二次根式的簡單性質(zhì)
上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個簡單性質(zhì)
我們知道，正數(shù)a有兩個平方根，分別記作零的平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：
這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生，a可以代表一個代數(shù)式嗎？
請分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時才成立。
時才成立，即a取任意實數(shù)時都成立。
我們知道
如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式了．
例1計算：
分析：這個例題中的四個小題，主要是運(yùn)用公式。其中（2）、（3）、（4）題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的，說明，這與帶分?jǐn)?shù)。因此，以后遇到，應(yīng)寫成，而不宜寫成。
例2把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：
（1）5；（2）11；（3）1。6；（4）0。35．
例3把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：
（1）4x2—1；（2）a4—9；
（3）3a2—10；（4）a4—6a2+9．
解：（1）4x2—1
=（2x）2—12
=（2x+1）（2x—1）．
（2）a4—9
=（a2）2—32
=（a2+3）（a2—3）
（3）3a2—10
（4）a4—6a2+32
=（a2）2—6a2+32
=（a2—3）2
（三）小結(jié)
1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．
2．關(guān)于公式的應(yīng)用。
（1）經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．
（2）可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式，解決在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．
（四）練習(xí)和作業(yè)
練習(xí)：
1．填空
注意第（4）題需有2m≥0，m≥0，又需有—3m≥0，即m≤0，故m=0．
2．實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如下圖所示：
分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
3．計算
二、作業(yè)
教材P．172習(xí)題11．1；A組2、3；B組2．
補(bǔ)充作業(yè)：
下列各式中的字母滿足什么條件時，才能使該式成為二次根式？
分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負(fù)數(shù)即可，啟發(fā)學(xué)生分析如下：
（1）由—｜a—2b｜≥0，得a—2b≤0，
但根據(jù)絕對值的性質(zhì)，有｜a—2b｜≥0，
∴｜a—2b｜=0，即a—2b=0，得a=2b．
（2）由（—m2—1）（m—n）≥0，—（m2+1）（m—n）≥0
∴（m2+1）（m—n）≤0，又m2+1＞0，
∴ m—n≤0，即m≤n．
說明：本題求解較難些，但基本方法仍是由二次根式中被開方數(shù)（式）大于或等于零列出不等式．通過本題培養(yǎng)學(xué)生對于較復(fù)雜的題的分析問題和解決問題的能力，并且進(jìn)一步鞏固二次根式的概念．
三、板書設(shè)計
1．什么叫二次根式？
2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：
（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實數(shù)．
我們知道，正數(shù)a有兩個平方根，分別記作零的平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：
這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生，a可以代表一個代數(shù)式嗎？
如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式了．
例1計算：
分析：這個例題中的四個小題，主要是運(yùn)用公式。其中（2）、（3）、（4）題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的，說明，這與帶分?jǐn)?shù)。因此，以后遇到，應(yīng)寫成，而不宜寫成。
例2把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的.形式：
（1）5；（2）11；（3）1。6；（4）0。35．
例3把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：
（1）4x2―1；（2）a4―9；
（3）3a2―10；（4）a4―6a2+9．
1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．
2．關(guān)于公式的應(yīng)用。
（1）經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．
（2）可以把任何一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式，解決在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．
注意第（4）題需有2m≥0，m≥0，又需有―3m≥0，即m≤0，故m=0．
2．實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如下圖所示：
分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
教材P．172習(xí)題11．1；A組2、3；B組2．
補(bǔ)充作業(yè)：
下列各式中的字母滿足什么條件時，才能使該式成為二次根式？
分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負(fù)數(shù)即可，啟發(fā)學(xué)生分析如下：
（1）由―｜a―2b｜≥0，得a―2b≤0，
但根據(jù)絕對值的性質(zhì)，有｜a―2b｜≥0，
∴｜a―2b｜=0，即a―2b=0，得a=2b．
（2）由（―m2―1）（m―n）≥0，―（m2+1）（m―n）≥0
∴（m2+1）（m―n）≤0，又m2+1＞0，
∴ m―n≤0，即m≤n．
說明：本題求解較難些，但基本方法仍是由二次根式中被開方數(shù)（式）大于或等于零列出不等式．通過本題培養(yǎng)學(xué)生對于較復(fù)雜的題的分析問題和解決問題的能力，并且進(jìn)一步鞏固二次根式的概念．
教學(xué)內(nèi)容
二次根式的加減
教學(xué)目標(biāo)
知識與技能目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.
過程與方法目標(biāo)：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.
情感與價值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.
重難點關(guān)鍵
1.重點：二次根式化簡為最簡根式.
2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.
教法：
1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法:通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用;
2、講練結(jié)合法:在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與同類項進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。
學(xué)法：
1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式加減的模型，形成有效的學(xué)習(xí)策略。
2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。
3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗學(xué)習(xí)活動中的交流與合作。
4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識;利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。
知識點
自主檢測、同伴互查
1、師生共同解決“學(xué)法”問題與13頁“練習(xí)1”;
2、學(xué)生演板13頁“練習(xí)2、3”。
四、知識梳理、師生共議
1、談收獲：
(1)二次根式的加減法則是什么?有哪些運(yùn)算步驟?
(2)怎樣合并被開方數(shù)相同的二次根式呢?
(3)二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時應(yīng)注意什么問題?
2、說不足：。
五、作業(yè)訓(xùn)練、鞏固提高
1、必做題：課本15頁的“習(xí)題2、3”;
課時練習(xí)
1.揭示學(xué)法、自主學(xué)習(xí)
認(rèn)真閱讀課本14頁內(nèi)容，完成下列任務(wù)：
1、完成14頁“例3、4”，先做再對照：
(1)平方差公式__________，完全平方公式__________.
(2)每步的運(yùn)算依據(jù)是什么?應(yīng)注意什么問題?
(時間7分鐘若有困難，與同伴討論)
三、自主檢測、同伴互查
1、師生共同解決“學(xué)法”問題;
2、學(xué)生演板14頁“練習(xí)1、2”。
四、知識梳理、師生共議
1、談收獲：
(1)二次根式進(jìn)行混合運(yùn)算時運(yùn)用了哪些知識?
(2)二次根式進(jìn)行混合運(yùn)算時應(yīng)注意哪些問題?
本節(jié)課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學(xué)者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計算出錯的問題。
1.在知識的引入上，可采取復(fù)習(xí)引入方式，比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算或整式的運(yùn)算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運(yùn)算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應(yīng)用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學(xué)中，要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別，并及時總結(jié)。
學(xué)生特點：實驗班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實施分層教學(xué)),主動學(xué)習(xí)積極性高，基礎(chǔ)扎實，思維活躍, ,并具有一定的獨(dú)立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。
教材特點：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個重要概念（最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化）和二次根式的有關(guān)運(yùn)算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法）基礎(chǔ)上，將加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算綜合在一起的混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)。
鑒于學(xué)生的特點及教材的特點，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法，以此實現(xiàn)生生互動、師生互動、學(xué)生與教材之間的互動。具體說明如下：
（一）在師生互動方面，教師注重問題設(shè)計，注重引導(dǎo)、點撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：
讓學(xué)生先進(jìn)行思考，解答。然后同學(xué)說出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
（二）在學(xué)生與學(xué)生的互動上，教師注重活動設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有樂，樂中悟道。教師設(shè)計一組題目，讓學(xué)生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學(xué)說出優(yōu)點（簡便方法及靈活之處）與錯誤。由于本節(jié)課主要以計算為主，對運(yùn)算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識，學(xué)生很容易掌握而且從意識上認(rèn)為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，如此這般設(shè)計。
（三）在個體與群體的`互動方式上，教師注重合作設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點問題：“分母有理化”的教學(xué)，出示一個題目，讓學(xué)生思考，找個別學(xué)生說出自己的想法，然后其它同學(xué)補(bǔ)充完成。
學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此互動。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，追求學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動。互動式教學(xué)模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實現(xiàn)教與學(xué)的共振。
=； =.
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么？多項式與多項式的乘法法則是什么？什么是完全平方式？分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
； 。
在實數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運(yùn)用乘法法則及乘法公式可以進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。引入新課。
在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時，也有一個與分式運(yùn)算相比較的問題，有的時候，加上團(tuán)式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運(yùn)用的．因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)時，可以適當(dāng)結(jié)合11．1節(jié)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進(jìn)行到底了．可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出 ，等等．
1．掌握二次根式的混合運(yùn)算．
2．掌握乘法公式在混合運(yùn)算的應(yīng)用．
3．通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．
1．理解分母有理化與除法的關(guān)系．
2．掌握二次根式的分母有理化．
3．通過二次根式的分母有理化，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．
三、重點、難點解決辦法
二次根式混合運(yùn)算的步驟、運(yùn)算順序、互為有理化因式．
例1? 說出下列算式的運(yùn)算步驟和順序：
（1） （先乘除，后加減）．
（2） （有括號，先去括號；不宜先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算）．
（3）辨別有理化因式：
化簡一個式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的`有理化因式的方法（依據(jù)分式的基本性質(zhì)）．
例如， 、 、 等式子的化簡，如果分母是兩個二次根式的和，應(yīng)該怎樣化簡？
化簡式子 ，乘以什么樣的式子，分母中的根式符號可去掉，結(jié)論是分子與分母要同乘以 的有理化因式，而這個式子就是 ，從而可將式子化簡．
注：通過例題的講解，使學(xué)生理解和掌握化簡的步驟、關(guān)鍵問題、化簡的依據(jù)．式子的化簡，若分子與分母可分解因式，則可先分解因式，再約分，使化簡變得簡單．
通過以上例題和練習(xí)題，可以看出，有關(guān)二次根式的除法，可先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算，例如：
，現(xiàn)將分母有理化，就可以了．
，學(xué)生易發(fā)生如下錯誤，將式子變形為 ，而正確的做法是 ．
1．強(qiáng)調(diào)二次根式混合運(yùn)算的法則；
2．注意對有理化因式的概括并尋找出它的規(guī)律．
（1）如單獨(dú)一項 的有理化因式就是它本身 ．（2）如出現(xiàn)和、差形式的： 的有理化因式為 ， 的有理數(shù)化因式為 ．
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